Apakah
Matematika Diskrit Itu?
Rasa
ingin tahu adalah ibu dari semua ilmu pengetahuan
· Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji
objek-objek diskrit.
· Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Benda disebut diskrit jika:
-
terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda
-
elemen-elemennya tidak bersambungan
(unconnected).
Contoh: himpunan bilangan bulat (integer)
·
Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus
(continuous).
Contoh: himpunan
bilangan riil (real)
· Komputer digital bekerja
secara diskrit. Informasi yang disimpan
dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit.
Matematika diskrit
merupakan ilmu dasar dalam pendidikan informatika atau ilmu komputer.
Matematika diskrit
memberikan landasan matematis untuk kuliah-kuliah lain di informatika.
Matematika diskrit adalah
matematika yang khas informatika à Matematika Informatika. ·
Contoh-contoh persoalan
matematika diskrit:
- berapa banyak kemungkinan
jumlah password yang dapatdibuat dari 8 karakter?
- bagaimana nomor ISBN
sebuah buku divalidasi?
- berapa banyak string
biner yang panjangnya 8 bit yang mempunyai bit 1 sejumlah ganjil?
-
bagaimana menentukan
lintasan terpendek dari satu kota a ke kota b?
- buktikan bahwa perangko
senilai n (n ³ 8) rupiah dapat menggunakan hanya pernagko 3
rupiah dan 5 rupiah saja
-diberikan dua buah
algoritma untuk menyelesaian sebuah persoalan, algoritma mana yang terbaik?
-bagaimana rangkaian logika
untuk membuat peraga digital yang disusun oleh 7 buah batang (bar)?
-dapatkah kita melalui
semua jalan di sebuah kompleks perubahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke
tempat semula?
-“Makanan murah tidak
enak”, “makanan enak tidak murah”. Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan
hal yang sama?
·Moral dari cerita di atas:
mahasiswa informatika harus memiliki pemahaman yang kuat dalam matematika
diskrit, agar tidak mendapat kesulitan dalam memahami kuliah-kuliah lainnya di
informatika.
·Perjalanan satu mil
dimulai dari satu langkah.
Let’s
go!
Belajar Matematika Diskrit (Himpunan)
Halooo..
Masih
ingatkah kawan-kawan pada saat kita SMP ato SMA pernah mempelajari materi
matematika yang namanya Himpunan (Set)? Hayo inget-inget
lagi yah.. apa itu himpunan?? ;)
Oke,
pada posting kali ini diriku mau berbagi pengalaman tentang materi
"Matematika Diskrit" yaitu Himpunan, sebenarnya himpunan itu
ada berapa jenis sih? dan apa aja sih Operasi-operasinya?
^^ ehehe tenang kawan jangan langsung kabur en close tab
karena keliatannya pusing! karena sebenarnya matematika diskrit ini tidak
sesulit seperti yang anda bayangkan, asal kita mau berusaha baca buku/referensi
lainnnya dan berlatih soal latihan secara kontinu, pasti kalian bisa dan paham
bener!! masa sih??? ia tergantung orangnya juga sih, kalo males ya susah
.. kalo pengen bener-bener bisa dalam istilah bahasa sunda mah
"Allahuma paksakeun" atau di paksakan membaca,memahami dan berlatih
hingga terbiasa pasti kita akan mendapat hasil yang baik pada akhirnya. Oke
langsung ke pembahasan materi ja deh -->
1.
Apa itu Himpunan (Set)?
Definisi
:
Himpunan adalah sekumpulan objek diskrit yang memiliki sifat tertentu dan
memiliki objek yang berbeda. Objek ini selanjutnya dinamakan yaitu anggota atau
elemen dari himpunan tersebut.
Notasi
- Himpunan
biasanya dinyatakan dengan huruf besar A,B,C,H,K dan sebagainya.
Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{}”, sementara itu
untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil
a,b,c,x,y dan sebagainya.
- Untuk
menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “∈” di baca anggota
sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan
lambang "∉ " di baca bukan
anggota.
Teknik
Penyajian
- Enumerasi : artinya menuliskan
semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung
kurawal . Biasanya suatu himpunan di beri nama dengan menggunakan
huruf kapital maupun dengan simbol-simbol lainnya.
- Notasi
pembentuk himpunan , Notasi: {x| syarat yang harus dipenuhi oleh x}
- Diagram
Venn
A = {a,b{a,b,c},{a,c}}
- Contoh
Notasi Pembentuk Himpunan
Jika B himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 8 dinyatakan kedalam
bentuk notasi :
B = {x | x ∈ p, x < 8}
B = {1,2,3,4,5,6,7}
Diket U = {1,2,3,4}
a = {1,3,4}
b= {1,2,3}
a∩b = (a ber irisan dengan b,
merupakan a ⊂ b dan b ⊂ a)
2.Ada berapakah jenis-jenis himpunan ?
Jenis Himpunan lumayan banyak juga kawan, jadi kita harus benar-benar memahami
setiap jenisnya dan perbedaanya, supaya dalam mengerjakan soal tidak keliru
menggunakan cara dan rumusnya :)
1. Himpunan Kosong
Definisi
: Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki
satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.
Soal. a) Buktikan
apakah semua nama hari yang berawal dengan angka numerik itu himpunan kosong?
Penyelesaian:
a) Diketahui A =
{1,2,3,4,5,6,7} ≠ H = {Senin, selasa, rabu , kamis, jumat,
sabtu, minggu},
maka semua nama hari
yang dimulai dengan angka numerik adalah = 0 , jadi A ≠ ∅ atau A bukan
himpunan kosong, karena himpunan kosong itu jika A = 0 atau {}.
2. Himpunan Bagian
Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika
dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B
dikatakan superset dari A.
Soal. a) Buktikan apakah A = {1,2,3,4} adalah himpunan bagian dari,
B = {1,2,3,4,5,6,7} ?
Soal. b) Diketahui C = {1,3,5} adalah sub himpunan sejati dari D =
{5,4,3,2,1} buktikan apakah termasuk himpunan bagian? lihat soal baik^2!
Soal. c) Diketahui G = {1,3,5} dan F = {5,4,3,2,1}, Apakah G ⊆ F , benar atau
salah buktikan?
Penyelesaian:
a) Untuk menunjukan bahwa A adalah himpunan bagian dari B, bahwa setiap elemen
di dalam A juga elemen di dalam B, maka A ⊆ B = {1,2,3,4} adalah benar.
Kenapa {5,6,7} tidak di termasuk? karena elemen 5,6,7 bukan merupakan elemen
himpunan bagian dari A .
b) Karena setiap unsur C merupakan unsur D, lalu unsur 2 dan 4 merupakan unsur
D, tetapi bukan merupakan unsur C, sehingga C ⊆ D adalah benar atau di
baca C merupakan himpunan bagian D.
c) F ⊈ G jika dan hanya
jika G ⊆ F = {4,2}, namun
anggota himpunan F = {5,3,1} merupakan
bagian dari himpunan G = {1,3,5}
maka G ⊆ F = {1,3,5} adalah
benar.
3. Himpunan sama
Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika
dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama
dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari
A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.
Notasi
: A = B <==> A ⊆ B
dan B ⊆ A
Tiga
hal yang perlu di catat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :
1.Urutan
elemen di dalam himpunan tidak penting.
Jadi,
{1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}
2.Pengulangan
elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.
Jadi,
{1,1,1,1} = {1,1} = {1}
3.Untuk
tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut:
(a)
A = A, B = B dan C = C
(b)
Jika A = B, maka B = A
(c)
Jika A = B dan B = C, maka A = C
Soal. a) Jika A = {3,5,8,5} dan B = {5,3,8}, Apakah himpunan berikut termasuk
himpunan sama?
Soal. b) Jika A = {3,5,8,5} dan B = {3,8}, Apakah himpunan berikut termasuk
himpunan sama?
Soal. c) Jika A = {a,a,a,b,c,d} dan B = {c,a,a,c} Apa himpunan berikut termasuk
himpunan sama?
Penyelesaian:
a) A = B = {3,5,8}, jadi himpunan di atas adalah himpunan sama
b) A ≠ B , karena A = {5} bukan merupakan himpunan bagian dari B
c) A ≠ B <==> A ⊈ B | B ⊈ A, karena A = {b,d} bukan merupakan
himpunan bagian dari B
Pembahasan Permutasi Dan Kombinasi
Permutasi adalah susunan atau urutan-urutan yang
berbeda satu sama lain yang terbentuk dari sebagian atau seluruh objek.
Kombinasi adalah kumpulan sebagian atau seluruh objek
tanpa memperhatikan urutannya.
So’al Dan Jawaban Permutasi Dan Kombinasi
PERMUTASi
1. Dalam beberapa cara 3
orang ppedagang kaki lima (A, B, C) yang menempati suatu lokasi perdagangan
akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?
Jawaban:
3P3 = 3!
= 3 × 2 × 1
= 6 cara
2. Menjelang HUT RI yang akan datang di salah satu RT akan dibentuk
panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon
panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada bera pasang calon
yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
Jawaban:
6P2 = 6!/(6-2)!
= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)
= 720/24
= 30 cara
3. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 5 orang akan mengadakan rapat dan
duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat
diatur pada sekeliling meja tersebut?
Jawaban:
P5 = (5-1)!
= 4.3.2.1
= 24 cara
KOMBINASI
1) Dalam mengadakan suatu
pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai,
maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat
menyusunnya?
Jawaban:
4C3 =4! / 3! (4-3)!
= (4.3.2.1) / 3.2.1.1
= 24 / 6
= 4 cara
2) Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika
terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi
tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawaban:
nCx = (n!)/(x!(n-x)!)
4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)
= 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB,
MKH, KBH, MBH).
3) Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar
mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat
tangan yang terjadi.
Jawaban:
10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan
JAWABLAH SOAL LATIHAN DIBAWAH INI :
1. Dua bidang tembok akan dicat dengan 3 warna pilihan yaitu: merah, kuning,
dan hijau. Ada berapakah cara kita dapat menyusun warna-warna tersebut?
Jawaban:
33 = 3.3 = 9 cara
2. Dalam berapa carakah kata “JAKARTA” dapat dipermutasikan?
Jawaban:
7P7 =7!
= 7x6x5x4x3 × 2 × 1
= 5040 cara
3 Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75.
Jika seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia
dapat diterima oleh perusahaan?
Jawaban:
Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)
Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24. Maka:
Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.
4. Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah
bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?
Jawaban:
nPx = n!
3P3 = 3!
= 1 x 2 x 3
= 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).
5. Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan
memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika
pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.
Jawaban:
3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ; L1
L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2
6. dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8
soal yg tersedia. Tentukan:
a. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin untuk dikerjakan
b. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin dikerjakan jika no.6 dan 7 wajib
dikerjakan.
Jawaban:
a. 8 C5 = 8!/5!(8-5)! = (8×7×6×5!)/5!3! = 56 cara
b. 6C3 = 6!/3!(6-2)! = (6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara
7. Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....
Jawaban:
6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara
.........................................................................................................................................................
Sementara segitu dulu ^^ ntar di sambung lagi utk himpunan yg lainnya en
operasi-operasinye!
