materi matematika diskrit

Apakah Matematika Diskrit Itu?

Rasa ingin tahu adalah ibu dari semua ilmu pengetahuan

· Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit.

·  Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?

    Benda disebut diskrit jika:

-        terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda

-        elemen-elemennya tidak bersambungan

    (unconnected).

     Contoh: himpunan bilangan bulat (integer)

·    Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus (continuous).

Contoh: himpunan bilangan riil (real)

· Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi  yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit.

       Matematika diskrit merupakan ilmu dasar dalam pendidikan informatika atau ilmu komputer.

       Matematika diskrit memberikan landasan matematis untuk kuliah-kuliah lain di informatika.          Matematika diskrit adalah matematika yang khas informatika à Matematika Informatika. ·        
Contoh-contoh persoalan matematika diskrit:

- berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dapatdibuat dari 8 karakter?

- bagaimana nomor ISBN sebuah buku divalidasi?

- berapa banyak string biner yang panjangnya 8 bit yang mempunyai bit 1 sejumlah ganjil?

- bagaimana menentukan lintasan terpendek dari satu kota a ke kota b?

- buktikan bahwa perangko senilai n (n ³ 8) rupiah dapat menggunakan hanya pernagko 3 rupiah dan 5 rupiah saja

-diberikan dua buah algoritma untuk menyelesaian sebuah persoalan, algoritma mana yang terbaik?

-bagaimana rangkaian logika untuk membuat peraga digital yang disusun oleh 7 buah batang (bar)?

-dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks perubahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke tempat semula?

-“Makanan murah tidak enak”, “makanan enak tidak murah”. Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan hal yang sama?

·Moral dari cerita di atas: mahasiswa informatika harus memiliki pemahaman yang kuat dalam matematika diskrit, agar tidak mendapat kesulitan dalam memahami kuliah-kuliah lainnya di informatika.

·Perjalanan satu mil dimulai dari satu langkah.

Let’s go!

Belajar Matematika Diskrit (Himpunan)

Halooo..

Masih ingatkah kawan-kawan pada saat kita SMP ato SMA pernah mempelajari materi matematika yang namanya Himpunan (Set)? Hayo inget-inget lagi yah.. apa itu himpunan?? ;)

Oke, pada posting kali ini diriku mau berbagi pengalaman tentang materi "Matematika Diskrit" yaitu Himpunan, sebenarnya himpunan itu ada berapa jenis sih? dan apa aja sih Operasi-operasinya? ^^   ehehe  tenang kawan jangan langsung kabur en close tab karena keliatannya pusing! karena sebenarnya matematika diskrit ini tidak sesulit seperti yang anda bayangkan, asal kita mau berusaha baca buku/referensi lainnnya dan berlatih soal latihan secara kontinu, pasti kalian bisa dan paham bener!! masa sih???  ia tergantung orangnya juga sih, kalo males ya susah .. kalo pengen bener-bener bisa dalam istilah bahasa sunda mah  "Allahuma paksakeun" atau di paksakan membaca,memahami dan berlatih hingga terbiasa pasti kita akan mendapat hasil yang baik pada akhirnya. Oke langsung ke pembahasan materi  ja deh -->

1. Apa itu Himpunan (Set)?

Definisi : Himpunan adalah sekumpulan objek diskrit yang memiliki sifat tertentu dan memiliki objek yang berbeda. Objek ini selanjutnya dinamakan yaitu anggota atau elemen dari himpunan tersebut.

Notasi 

• Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A,B,C,H,K dan sebagainya. Untuk  menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{}”, sementara itu untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a,b,c,x,y dan sebagainya. 

• Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “∈” di baca anggota sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang  "∉ " di baca bukan anggota.

Teknik Penyajian

1. Enumerasi : artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal . Biasanya  suatu himpunan di beri nama dengan menggunakan huruf kapital maupun dengan simbol-simbol lainnya. 
2. Notasi pembentuk himpunan  ,  Notasi: {x| syarat yang harus dipenuhi oleh x}
3. Diagram Venn

• Contoh Enumerasi

         A = {a,b{a,b,c},{a,c}}

• Contoh Notasi Pembentuk Himpunan

          Jika B himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 8 dinyatakan kedalam bentuk notasi : 

          B = {x | x ∈ p, x < 8}

          B = {1,2,3,4,5,6,7}

• Contoh Diagram Venn

          Diket  U = {1,2,3,4} 

          a = {1,3,4}

          b= {1,2,3}

          a∩b =  (a ber irisan dengan b, merupakan a ⊂ b dan b ⊂ a) 

2.Ada berapakah jenis-jenis himpunan ?


Jenis Himpunan lumayan banyak juga kawan, jadi kita harus benar-benar memahami setiap jenisnya dan perbedaanya, supaya dalam mengerjakan soal tidak keliru menggunakan cara dan rumusnya :)

1. Himpunan Kosong

Definisi :  Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.

Soal. a) Buktikan apakah semua nama hari yang berawal dengan angka numerik itu himpunan kosong?

Penyelesaian: 

a) Diketahui A = {1,2,3,4,5,6,7}  ≠   H = {Senin, selasa, rabu , kamis, jumat, sabtu, minggu},

maka semua nama hari yang dimulai dengan angka numerik adalah = 0 , jadi  A ≠ ∅ atau A bukan himpunan kosong, karena himpunan kosong itu jika A = 0 atau {}.

2. Himpunan Bagian

Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Soal. a) Buktikan apakah  A = {1,2,3,4} adalah himpunan bagian dari,  B = {1,2,3,4,5,6,7} ?

Soal. b) Diketahui C = {1,3,5} adalah sub himpunan sejati dari D = {5,4,3,2,1} buktikan apakah termasuk himpunan bagian? lihat soal baik^2!

Soal. c) Diketahui G = {1,3,5} dan F = {5,4,3,2,1}, Apakah G ⊆ F ,  benar atau salah buktikan?

Penyelesaian:

a) Untuk menunjukan bahwa A adalah himpunan bagian dari B, bahwa setiap elemen di dalam A juga elemen di dalam B, maka A ⊆ B = {1,2,3,4} adalah benar.
Kenapa {5,6,7} tidak di termasuk? karena elemen 5,6,7 bukan merupakan elemen himpunan bagian dari A .

b) Karena setiap unsur C merupakan unsur D, lalu unsur 2 dan 4 merupakan unsur D, tetapi bukan merupakan unsur C, sehingga C ⊆ D adalah benar atau  di baca  C merupakan himpunan bagian D.
c) F ⊈ G jika dan hanya jika G ⊆ F = {4,2}, namun anggota himpunan F = {5,3,1} merupakan

bagian dari himpunan G = {1,3,5} maka  G ⊆ F = {1,3,5} adalah benar.

3. Himpunan sama

Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

 Notasi : A = B  <==>  A ⊆ B dan B ⊆ A 

Tiga hal yang perlu di catat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :

 1.Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting.

Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}

2.Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.

Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1}

3.Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B dan C = C

(b) Jika A = B, maka B = A

(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C

Soal. a) Jika A = {3,5,8,5} dan B = {5,3,8}, Apakah himpunan berikut termasuk himpunan sama?
Soal. b) Jika A = {3,5,8,5} dan B = {3,8}, Apakah himpunan berikut termasuk himpunan sama?
Soal. c) Jika A = {a,a,a,b,c,d} dan B = {c,a,a,c} Apa himpunan berikut termasuk himpunan sama?
Penyelesaian:
a) A = B  = {3,5,8}, jadi himpunan di atas adalah himpunan sama
b) A  ≠ B , karena A = {5} bukan merupakan himpunan bagian dari  B
c) A ≠ B  <==>  A ⊈ B | B ⊈ A, karena A = {b,d} bukan merupakan himpunan bagian dari B

 Pembahasan Permutasi Dan Kombinasi 

Permutasi adalah susunan atau urutan-urutan yang berbeda satu sama lain yang terbentuk dari sebagian atau seluruh objek. 

 Kombinasi adalah kumpulan sebagian atau seluruh objek tanpa memperhatikan urutannya.

 So’al Dan Jawaban Permutasi Dan Kombinasi

        PERMUTASi
1.  Dalam beberapa cara 3 orang ppedagang kaki lima (A, B, C) yang menempati suatu lokasi perdagangan akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?
Jawaban:
3P3 = 3!
       = 3 × 2 × 1
       = 6 cara

 2.  Menjelang HUT RI yang akan datang di salah satu RT akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada bera pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
Jawaban:
6P2 = 6!/(6-2)!
       = (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)
       = 720/24
       = 30 cara

3. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 5 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?
Jawaban:
P5 = (5-1)!
    = 4.3.2.1
    = 24 cara

        KOMBINASI
1) Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?
Jawaban:
4C3 =4! / 3! (4-3)!
        = (4.3.2.1) / 3.2.1.1
        = 24 / 6
        = 4 cara

 2) Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawaban:
nCx = (n!)/(x!(n-x)!) 
4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)
        = 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).

3) Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.
Jawaban:
10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan

 

JAWABLAH SOAL LATIHAN DIBAWAH INI :

1. Dua bidang tembok akan dicat dengan 3 warna pilihan yaitu: merah, kuning, dan hijau. Ada berapakah cara kita dapat menyusun warna-warna tersebut?
Jawaban:
33 = 3.3 = 9 cara

  2. Dalam berapa carakah kata “JAKARTA” dapat dipermutasikan?
Jawaban:

7P7 =7!
       = 7x6x5x4x3 × 2 × 1
       = 5040 cara
3  Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia dapat diterima oleh perusahaan?
Jawaban:
Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)
Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24. Maka:
Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.

4. Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?
Jawaban:
nPx = n!
3P3 = 3!
       = 1 x 2 x 3
       = 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).

  5. Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.
Jawaban:
3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2

6. dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal yg tersedia. Tentukan:
a. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin untuk dikerjakan
b. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin dikerjakan jika no.6 dan 7 wajib dikerjakan.
Jawaban:
a. 8 C5 = 8!/5!(8-5)! = (8×7×6×5!)/5!3! = 56 cara
b. 6C3 = 6!/3!(6-2)! = (6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara

7. Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....
Jawaban:
6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara

.........................................................................................................................................................

 
Sementara segitu dulu ^^ ntar di sambung lagi utk himpunan yg lainnya en operasi-operasinye!