Minggu, November 23, 2025

soal dan jawaban matematika diskrit

 Part 1

  1. Apa definisi dari himpunan?
    Jawaban: Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang unik dan terdefinisi dengan jelas.
  2. Berikan contoh himpunan kosong!
    Jawaban: Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2.
  3. Apa itu relasi antara dua himpunan?
    Jawaban: Relasi antara dua himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari produk kartesian A x B.
  4. Apa perbedaan antara fungsi injektif dan surjektif?
    Jawaban: Fungsi injektif adalah fungsi yang memetakan setiap elemen domain ke elemen kodomain yang unik, sedangkan fungsi surjektif adalah fungsi yang memetakan setiap elemen kodomain ke setidaknya satu elemen domain.
  5. Berikan contoh graf yang tidak terhubung!
    Jawaban: Graf dengan dua simpul yang tidak memiliki sisi penghubung.
  6. Apa itu pohon (tree) dalam teori graf?
    Jawaban: Pohon adalah graf terhubung yang tidak memiliki siklus.
  7. Bagaimana cara menentukan jumlah simpul dalam graf lengkap dengan n simpul?
    Jawaban: Jumlah simpul dalam graf lengkap dengan n simpul adalah n(n-1)/2.
  8. Apa itu relasi kesetaraan?
    Jawaban: Relasi kesetaraan adalah relasi yang bersifat refleksif, simetris, dan transitif.
  9. Berikan contoh himpunan yang merupakan subset dari himpunan lain!
    Jawaban: Himpunan {1, 2} adalah subset dari himpunan {1, 2, 3, 4}.
  10. Apa itu prinsip inklusi-eksklusi dalam kombinatorik?
    Jawaban: Prinsip inklusi-eksklusi adalah metode untuk menghitung jumlah elemen dalam himpunan dengan cara menambahkan jumlah elemen dalam himpunan bagian dan mengurangkan jumlah elemen dalam irisan himpunan bagian.

Part 2

  1. Apa definisi dari graf berarah (directed graph)?
    Jawaban: Graf berarah adalah graf yang sisinya memiliki arah.
  2. Berikan contoh relasi yang bersifat transitif!
    Jawaban: Relasi "lebih besar dari" pada himpunan bilangan real.
  3. Apa itu closure transatif dari suatu relasi?
    Jawaban: Closure transatif dari suatu relasi R adalah relasi terkecil yang mengandung R dan bersifat transatif.
  4. Bagaimana cara menentukan apakah suatu fungsi adalah bijektif?
    Jawaban: Suatu fungsi adalah bijektif jika dan hanya jika fungsi tersebut injektif dan surjektif.
  5. Apa itu kode Gray?
    Jawaban: Kode Gray adalah urutan bilangan biner yang berbeda hanya satu bit antara dua bilangan berurutan.
  6. Berikan contoh himpunan yang merupakan partisi dari himpunan lain!
    Jawaban: Himpunan {{1, 2}, {3, 4}} adalah partisi dari himpunan {1, 2, 3, 4}.
  7. Apa itu relasi rekursif?
    Jawaban: Relasi rekursif adalah relasi yang didefinisikan secara rekursif, yaitu dengan menggunakan dirinya sendiri.
  8. Bagaimana cara menentukan jumlah cara untuk memilih k objek dari n objek?
    Jawaban: Jumlah cara untuk memilih k objek dari n objek adalah C(n, k) = n! / (k!(n-k)!).
  9. Apa itu graf planar?
    Jawaban: Graf planar adalah graf yang dapat digambar pada bidang datar tanpa ada sisi yang berpotongan.
  10. Berikan contoh aplikasi matematika diskrit dalam kehidupan sehari-hari!
    Jawaban: Penggunaan kode Gray dalam pengkodean data digital.

Part 3

  1. Apa definisi dari himpunan kuasa (power set)?
    Jawaban: Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua subset dari A.
  2. Berikan contoh relasi yang bersifat simetris!
    Jawaban: Relasi "sama dengan" pada himpunan bilangan real.
  3. Apa itu algoritma Dijkstra?
    Jawaban: Algoritma Dijkstra adalah algoritma untuk mencari jalur terpendek dalam graf berbobot.
  4. Bagaimana cara menentukan apakah suatu graf adalah graf Euler?
    Jawaban: Suatu graf adalah graf Euler jika dan hanya jika semua simpulnya memiliki derajat genap.
  5. Apa itu prinsip rumah burung (pigeonhole principle)?
    Jawaban: Prinsip rumah burung menyatakan bahwa jika n objek ditempatkan dalam m wadah, dengan n > m, maka setidaknya satu wadah berisi lebih dari satu objek.
  6. Berikan contoh himpunan yang merupakan hasil kali kartesian dari dua himpunan!
    Jawaban: Himpunan {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)} adalah hasil kali kartesian dari himpunan {1, 2} dan {a, b}.
  7. Apa itu relasi antisimetris?
    Jawaban: Relasi antisimetris adalah relasi yang bersifat (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R maka a = b.
  8. Bagaimana cara menentukan jumlah cara untuk mengatur n objek dalam urutan?
    Jawaban: Jumlah cara untuk mengatur n objek dalam urutan adalah n!.
  9. Apa itu graf bipartit?
    Jawaban: Graf bipartit adalah graf yang simpulnya dapat dibagi menjadi dua himpunan yang tidak kosong, sehingga setiap sisi menghubungkan simpul dari himpunan yang berbeda.
  10. Berikan contoh aplikasi matematika diskrit dalam ilmu komputer!
    Jawaban: Penggunaan teori graf dalam desain jaringan komputer.

Part 4

  1. Apa definisi dari relasi ekvivalen?
    Jawaban: Relasi ekvivalen adalah relasi yang bersifat refleksif, simetris, dan transitif.
  2. Berikan contoh himpunan yang merupakan subset proper dari himpunan lain!
    Jawaban: Himpunan {1, 2} adalah subset proper dari himpunan {1, 2, 3}.
  3. Apa itu algoritma Kruskal?
    Jawaban: Algoritma Kruskal adalah algoritma untuk mencari pohon rentang minimum dalam graf berbobot.
  4. Bagaimana cara menentukan apakah suatu fungsi adalah invers?
    Jawaban: Suatu fungsi f memiliki invers jika dan hanya jika f adalah bijektif.
  5. Apa itu bilangan Catalan?
    Jawaban: Bilangan Catalan adalah deret bilangan yang muncul dalam berbagai masalah kombinatorik, seperti menghitung jumlah pohon biner.
  6. Berikan contoh graf yang merupakan graf lengkap!
    Jawaban: Graf dengan 3 simpul dan 3 sisi yang membentuk segitiga adalah graf lengkap.
  7. Apa itu relasi parsial order?
    Jawaban: Relasi parsial order adalah relasi yang bersifat refleksif, antisimetris, dan transitif.
  8. Bagaimana cara menentukan jumlah cara untuk memilih k objek dari n objek dengan pengulangan?
    Jawaban: Jumlah cara untuk memilih k objek dari n objek dengan pengulangan adalah C(n+k-1, k).
  9. Apa itu graf Hamiltonian?
    Jawaban: Graf Hamiltonian adalah graf yang memiliki siklus Hamiltonian, yaitu siklus yang mengunjungi setiap simpul tepat sekali.
  10. Berikan contoh aplikasi matematika diskrit dalam kriptografi!
    Jawaban: Penggunaan teori bilangan dalam algoritma enkripsi RSA.

Part 5

  1. Apa definisi dari himpunan?
    Jawaban: Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang unik dan terdefinisi dengan jelas.
  2. Berikan contoh himpunan kosong!
    Jawaban: Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2.
  3. Apa itu subset?
    Jawaban: Subset adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota himpunan lain.
  4. Berikan contoh himpunan yang merupakan subset dari himpunan lain!
    Jawaban: Himpunan {1, 2} adalah subset dari himpunan {1, 2, 3, 4}.
  5. Apa itu himpunan kuasa (power set)?
    Jawaban: Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua subset dari A.
  6. Berikan contoh himpunan kuasa!
    Jawaban: Himpunan kuasa dari {1, 2} adalah {{}, {1}, {2}, {1, 2}}.
  7. Apa itu operasi union?
    Jawaban: Operasi union adalah operasi yang menggabungkan semua anggota dari dua himpunan menjadi satu himpunan.
  8. Berikan contoh operasi union!
    Jawaban: {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
  9. Apa itu operasi irisan?
    Jawaban: Operasi irisan adalah operasi yang menghasilkan himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari dua himpunan.
  10. Berikan contoh operasi irisan!
    Jawaban: {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}.

Part 6

  1. Studi Kasus: Sebuah kelas memiliki 30 siswa. 15 siswa suka matematika, 20 siswa suka sains, dan 10 siswa suka keduanya. Berapa banyak siswa yang tidak suka matematika atau sains?

Jawaban:
|M ∪ S| = |M| + |S| - |M ∩ S| = 15 + 20 - 10 = 25
Siswa yang tidak suka matematika atau sains = 30 - 25 = 5
  1. Studi Kasus: Sebuah perusahaan memiliki 100 karyawan. 60 karyawan bekerja di departemen produksi, 30 karyawan bekerja di departemen pemasaran, dan 10 karyawan bekerja di kedua departemen. Berapa banyak karyawan yang tidak bekerja di departemen produksi atau pemasaran?

Jawaban:
|P ∪ M| = |P| + |M| - |P ∩ M| = 60 + 30 - 10 = 80
Karyawan yang tidak bekerja di departemen produksi atau pemasaran = 100 - 80 = 20
  1. Studi Kasus: Sebuah perpustakaan memiliki 500 buku. 200 buku tentang fiksi, 150 buku tentang non-fiksi, dan 50 buku tentang keduanya. Berapa banyak buku yang tidak tentang fiksi atau non-fiksi?

Jawaban:
|F ∪ N| = |F| + |N| - |F ∩ N| = 200 + 150 - 50 = 300
Buku yang tidak tentang fiksi atau non-fiksi = 500 - 300 = 200
  1. Studi Kasus: Sebuah tim sepak bola memiliki 25 pemain. 15 pemain bermain di posisi penyerang, 10 pemain bermain di posisi bek, dan 5 pemain bermain di kedua posisi. Berapa banyak pemain yang tidak bermain di posisi penyerang atau bek?

Jawaban:
|P ∪ B| = |P| + |B| - |P ∩ B| = 15 + 10 - 5 = 20
Pemain yang tidak bermain di posisi penyerang atau bek = 25 - 20 = 5
  1. Studi Kasus: Sebuah restoran memiliki 50 pelanggan. 30 pelanggan memesan makanan A, 20 pelanggan memesan makanan B, dan 10 pelanggan memesan keduanya. Berapa banyak pelanggan yang tidak memesan makanan A atau B?

Jawaban:
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| = 30 + 20 - 10 = 40
Pelanggan yang tidak memesan makanan A atau B = 50 - 40 = 10

Part 7
  1. Studi Kasus: Sebuah sekolah memiliki 200 siswa. 120 siswa suka olahraga, 80 siswa suka musik, dan 40 siswa suka keduanya. Berapa banyak siswa yang tidak suka olahraga atau musik?

Jawaban:
|O ∪ M| = |O| + |M| - |O ∩ M| = 120 + 80 - 40 = 160
Siswa yang tidak suka olahraga atau musik = 200 - 160 = 40
  1. Studi Kasus: Sebuah perusahaan memiliki 150 karyawan. 90 karyawan bekerja di departemen A, 60 karyawan bekerja di departemen B, dan 30 karyawan bekerja di kedua departemen. Berapa banyak karyawan yang tidak bekerja di departemen A atau B?

Jawaban:
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| = 90 + 60 - 30 = 120
Karyawan yang tidak bekerja di departemen A atau B = 150 - 120 = 30
  1. Studi Kasus: Sebuah toko memiliki 100 produk. 60 produk adalah makanan, 40 produk adalah minuman, dan 20 produk adalah keduanya. Berapa banyak produk yang tidak makanan atau minuman?

Jawaban:
|M ∪ D| = |M| + |D| - |M ∩ D| = 60 + 40 - 20 = 80
Produk yang tidak makanan atau minuman = 100 - 80 = 20
  1. Studi Kasus: Sebuah universitas memiliki 500 mahasiswa. 300 mahasiswa mengambil jurusan A, 200 mahasiswa mengambil jurusan B, dan 100 mahasiswa mengambil keduanya. Berapa banyak mahasiswa yang tidak mengambil jurusan A atau B?

Jawaban:
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| = 300 + 200 - 100 = 400
Mahasiswa yang tidak mengambil jurusan A atau B = 500 - 400 = 100
  1. Studi Kasus: Sebuah kota memiliki 1000 penduduk. 600 penduduk memiliki mobil, 400 penduduk memiliki sepeda, dan 200 penduduk memiliki keduanya. Berapa banyak penduduk yang tidak memiliki mobil atau sepeda?

Jawaban:
|M ∪ S| = |M| + |S| - |M ∩ S| = 600 + 400 - 200 = 800
Penduduk yang tidak memiliki mobil atau sepeda = 1000 - 800 = 200

Part 8

  1. Studi Kasus: A = {1, 2} dan B = {a, b}. Berapa banyak pasangan (a, b) yang dapat dibentuk dari A x B?

Jawaban:
A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
Jumlah pasangan = 2 x 2 = 4
  1. Studi Kasus: A = {1, 2, 3} dan B = {x, y}. Berapa banyak pasangan (a, b) yang dapat dibentuk dari A x B?

Jawaban:
A x B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}
Jumlah pasangan = 3 x 2 = 6
  1. Studi Kasus: A = {a, b} dan B = {1, 2, 3}. Berapa banyak pasangan (a, b) yang dapat dibentuk dari A x B?

Jawaban:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
Jumlah pasangan = 2 x 3 = 6
  1. Studi Kasus: A = {1, 2} dan B = {x, y, z}. Berapa banyak pasangan (a, b) yang dapat dibentuk dari A x B?

Jawaban:
A x B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}
Jumlah pasangan = 2 x 3 = 6
  1. Studi Kasus: A = {a, b, c} dan B = {1, 2}. Berapa banyak pasangan (a, b) yang dapat dibentuk dari A x B?

Jawaban:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
Jumlah pasangan = 3 x 2 = 6
  1. Studi Kasus: A = {1, 2, 3} dan B = {x, y, z}. Berapa banyak pasangan (a, b) yang dapat dibentuk dari A x B?

Jawaban:
A x B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z), (3, x), (3, y), (3, z)}
Jumlah pasangan = 3 x 3 = 9
  1. Studi Kasus: A = {a, b} dan B = {1, 2, 3, 4}. Berapa banyak pasangan (a, b) yang dapat dibentuk dari A x B?

Jawaban:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}
Jumlah pasangan = 2 x 4 = 8
  1. Studi Kasus: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {x, y}. Berapa banyak pasangan (a, b) yang dapat dibentuk dari A x B?

Jawaban:
A x B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y), (4, x), (4, y)}
Jumlah pasangan = 4 x 2 = 8
  1. Studi Kasus: A = {a, b, c, d} dan B = {1, 2}. Berapa banyak pasangan (a, b) yang dapat dibentuk dari A x B?

Jawaban:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2), (d, 1), (d, 2)}
Jumlah pasangan = 4 x 2 = 8
  1. Studi Kasus: A = {1, 2} dan B = {x, y, z, w}. Berapa banyak pasangan (a, b) yang dapat dibentuk dari A x B?

Jawaban:
A x B = {(1, x), (1, y), (1, z), (1, w), (2, x), (2, y), (2, z), (2, w)}
Jumlah pasangan = 2 x 4 = 8
  1. Studi Kasus: A = {a, b, c} dan B = {1, 2, 3, 4}. Berapa banyak pasangan (a, b) yang dapat dibentuk dari A x B?

Jawaban:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}
Jumlah pasangan = 3 x 4 = 12

Part  9

  1. Studi Kasus: Sebuah sekolah memiliki 250 siswa. 150 siswa suka membaca, 120 siswa suka menulis, dan 80 siswa suka keduanya. Berapa banyak siswa yang tidak suka membaca atau menulis?

Jawaban:
|M ∪ W| = |M| + |W| - |M ∩ W| = 150 + 120 - 80 = 190
Siswa yang tidak suka membaca atau menulis = 250 - 190 = 60
  1. Studi Kasus: Sebuah perusahaan memiliki 80 karyawan. 50 karyawan bekerja di departemen produksi, 30 karyawan bekerja di departemen pemasaran, dan 10 karyawan bekerja di kedua departemen. Berapa banyak karyawan yang tidak bekerja di departemen produksi atau pemasaran?

Jawaban:
|P ∪ M| = |P| + |M| - |P ∩ M| = 50 + 30 - 10 = 70
Karyawan yang tidak bekerja di departemen produksi atau pemasaran = 80 - 70 = 10
  1. Studi Kasus: Sebuah toko memiliki 120 produk. 80 produk adalah makanan, 40 produk adalah minuman, dan 20 produk adalah keduanya. Berapa banyak produk yang tidak makanan atau minuman?

Jawaban:
|M ∪ D| = |M| + |D| - |M ∩ D| = 80 + 40 - 20 = 100
Produk yang tidak makanan atau minuman = 120 - 100 = 20
  1. Studi Kasus: Sebuah universitas memiliki 300 mahasiswa. 200 mahasiswa mengambil jurusan A, 150 mahasiswa mengambil jurusan B, dan 50 mahasiswa mengambil keduanya. Berapa banyak mahasiswa yang tidak mengambil jurusan A atau B?

Jawaban:
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| = 200 + 150 - 50 = 300
Mahasiswa yang tidak mengambil jurusan A atau B = 300 - 300 = 0

Part 10

  1. Studi Kasus: Sebuah tim sepak bola memiliki 11 pemain. Berapa banyak cara untuk memilih 3 pemain untuk menjadi kapten, wakil kapten, dan sekretaris?
Jawaban:
P(11, 3) = 11! / (11-3)! = 11 x 10 x 9 = 990
  1. Studi Kasus: Sebuah perusahaan memiliki 5 kandidat untuk posisi manajer. Berapa banyak cara untuk memilih 2 kandidat untuk diwawancarai?
Jawaban:
P(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5 x 4 = 20
  1. Studi Kasus: Sebuah toko memiliki 8 jenis produk. Berapa banyak cara untuk memilih 3 produk untuk dipajang di etalase?
Jawaban:
P(8, 3) = 8! / (8-3)! = 8 x 7 x 6 = 336
  1. Studi Kasus: Sebuah sekolah memiliki 10 siswa. Berapa banyak cara untuk memilih 4 siswa untuk menjadi ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara?
Jawaban:
P(10, 4) = 10! / (10-4)! = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040
  1. Studi Kasus: Sebuah perusahaan memiliki 6 karyawan. Berapa banyak cara untuk memilih 2 karyawan untuk dirotasi ke departemen lain?
Jawaban:
P(6, 2) = 6! / (6-2)! = 6 x 5 = 30
  1. Studi Kasus: Sebuah tim basket memiliki 12 pemain. Berapa banyak cara untuk memilih 5 pemain untuk bermain di lapangan?
Jawaban:
P(12, 5) = 12! / (12-5)! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95040
  1. Studi Kasus: Sebuah toko memiliki 9 jenis pakaian. Berapa banyak cara untuk memilih 3 pakaian untuk dipajang di etalase?
Jawaban:
P(9, 3) = 9! / (9-3)! = 9 x 8 x 7 = 504
  1. Studi Kasus: Sebuah perusahaan memiliki 7 kandidat untuk posisi supervisor. Berapa banyak cara untuk memilih 2 kandidat untuk diwawancarai?
Jawaban:
P(7, 2) = 7! / (7-2)! = 7 x 6 = 42
  1. Studi Kasus: Sebuah sekolah memiliki 8 siswa. Berapa banyak cara untuk memilih 3 siswa untuk menjadi ketua, wakil ketua, dan sekretaris?
Jawaban:
P(8, 3) = 8! / (8-3)! = 8 x 7 x 6 = 336
  1. Studi Kasus: Sebuah tim voli memiliki 10 pemain. Berapa banyak cara untuk memilih 4 pemain untuk bermain di lapangan?
Jawaban:
P(10, 4) = 10! / (10-4)! = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040



_______



Diposting oleh di